9991是质数吗,9991是质数吗.

投稿用户 • 2023年2月15日 am4:12 • 推广引流 • 阅读 685

在讨论速算法之前，我们先讨论普通乘法。速算法好比险峻的高山，我们可以选择不去攀登，但普通乘法好比家门口的大马路，天天都要走，不能回避。

介绍一下普通乘法的心算。请看下图：

这个算法其实就是整式乘法的具体运用。相当于下面的恒等式：

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

接下来我们看一个速算法的例子。两个比100略小的数相乘，例如92×96如何速算？

先看小学老师教的竖式笔算法。

再看七年级同学知道的整式乘法。

(90+2)(90+6)=902+6×90+2×90+2×6

=8100+8×90+12

=8100+720+12

=8832

这个算法可以再优化一下。请看：

原式=(100-8)(100-4)

=1002-4×100-8×100+4×8

=10000-1200+32

=8832

再看网红速算法。

100-92=8，100-96=4，

100-8-4=88，4×8=32

所以，92×96=8832

4和8称为补数。

这个速算法为什么能够成立？知其然还要知其所以然。请看下面的剖析图：

总结一下，速算能够成功，那是因为它建立在恒等式的基础上。让我们把躲在速算背后的恒等式找出来。

这两个比100略小的数，可以用100－a和100－b来表示，可得

(100－a)(100－b)=100(100－a－b)+ab

由于补数a和b是可正可负的整数，所以上面的恒等式适用范围比较广。

可以速算两个整数相乘，一个比100略大，一个比100略小。例如103×95

a=-3，b=5，所以

原式=100(100+3-5)-15

=9800-15

=9785

可以速算速算两个整数相乘，两个比100略大。例如102×107

a=-2，b=-7，所以

原式=100(100+2+7)+14

=10900+14

=10914

这个恒等式还可以推广到一般情况：

(10?-a)(10?-b)=10?(10?-a-b)+ab

上式右边第一项包含的括号，正是一个乘数减去另一个乘数的补数，括号外的10?是添0数，起到了添0占位的作用。右边第二项ab，显然是两个补数的乘积。

举个例子，995×1046

1046-5=1041，补3个0得1041000，5×(-46)=-230，所以答案是1041000-230=1040770

别的速算法背后也躲着一个恒等式。举几个例子。

利用平方差公式的速算法：

603×597=(600+3)(600-3)=6002-32=359991

782-772=(78+77)(78-77)=155

利用(a+b)2=a2+2ab+b2=a(a+2b)+b2速算：

752=(70+5)2=70×80+25=5625

再推广一下，可得

(a+b)[a+(10-b)]=a(a+10)+b(10-b)

可以速算两个头同尾互补的两位数的乘积。例如76×74=70×80+6×4=5624

平方数的速算法

利用完全平方公式及其特例

(a±1)2=a2±2a+1

例如612=(60+1)2=602+2×60+1=3721

利用(50±x)2=2500±100x+x2=100(25±x)+x2速算：

542=(50+4)2=100(25+4)+42=2916

532=(50+3)2=100(25+3)+32=2809(注意添0占位)

462=(50-4)2=100(25-4)+42=2116

如何速算272呢？注意到27=54÷2，所以有

272=542÷4=2916÷4=729

利用(100±x)2=10000±200x+x2=100(100±2x)+x2速算：适合计算90～110之间的整数的平方。

例如，1042=104+4的后面续写16，即10816

942=94-6的后面续写36，即8836

还可以利用其它恒等式来进行速算。例如，a2=a2-b2+b2=(a+b)(a-b)+b2

再比如(a+b)2=(a-b)2+4ab

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。

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